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Teacher`s Corner

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Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel

Aufgabensammlung

(mit herzlichem Dank an R.H., die diese Aufgaben zusammengestellt hat)

 

Vierseitige Pyramide

Berechne die fehlenden Stücke einer quadratischen Pyramide.

a hs hk G M O V
  5,8 m   38,5 m2      

 

Berechne die fehlenden Stücke einer quadratischen Pyramide:

a

hk

hs

s

G

M

O

V

8 cm

7 cm

           

10 m

   

25 m

       

4,5 dm

 

8,5 dm

         
 

14,6 cm

   

36 cm2

     
   

20 cm

   

1040 cm2

   
         

625 dm2

750 dm2

 
 

6,8 cm

         

160 cm3

6 m

           

360 m3

 

Berechne Oberfläche und Volumen einer quadratischen Pyramide, für die gilt:

a) a = 18 cm hk = 12 cm (a = 25 cm hk = 17 cm)

b) a = 16 cm s = 20 cm (a = 10 cm s = 13 cm)

c) s = 19 cm hk = 17 cm (s = 17 cm hk = 15 cm)

d) M = 672 cm2 a = 14 cm

e) M = 1680 cm2 hs = 37 cm

Berechne die fehlenden Stücke einer quadratischen Pyramide mit

a) V = 360 cm3 hk = 30 cm (V = 160 cm3 hk = 6,8 cm)

b) V = 6720 cm3 a = 24 cm

c) G = 100 cm2 s = 10 cm

d) G = 42 cm² hs = 12,9 cm

e) G = 75,3 cm² hk = 10,5 cm

f) O = 3280 cm2 a = 40 cm

g) G = 7,29 m2 V = 15,309 m3

Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Grundkante a = 240 m und ist 151 m hoch. Wieviel m3 Mauerwerk enthält das Bauwerk?

Eine Pyramide in Ägypten hat eine quadratische Grundfläche von 225 m2. Berechne mit Hilfe des Volumens V = 1500 m3 die Höhe der Pyramide.

Ein Turmdach ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkante a = 4,25 m. Die Seitenkante s ist 24 m lang. Wie teuer ist der Belag mit Kupferblech, wenn 1 m2 Kupferplatte 154,20 DM kostet? Wie schwer ist die Kupferbedachung, wenn die Platte 4 mm dick ist und 1 cm3 Kupfer 8,95 g wiegt?

Auf einen Turm mit quadratischer Grundfläche ( a = 4,25 m ) wird ein Dach in Form einer Pyramide gesetzt, deren Seitenkanten s = 24 m lang sind. Wie teuer ist der Belag des Daches mit Kupferblech, wenn 1 m2 Kupferblech 58 DM kostet?

Wie viele Dachziegel sind erforderlich, wenn ein Dachziegel durchschnittlich eine Fläche von 5 dm² abdeckt?

Das Dach eines Turmes hat die Form einer quadratischen Pyramide. Die Grundkanten messen 2,2 m, die Seitenkanten 11 m. Berechne die Dachfläche.

Ein pyramidenförmiges Dach mit quadratischer Grundfläche (a = 6 m; hk = 8 m) soll mit Schieferplatten gedeckt werden. Wie groß ist die zu deckende Fläche?

Ein Zeltdach hat die Form einer quadratischen Pyramide mit a = 12 m und hs = 14 m. Wieviel m2 Kupferblech braucht der Dachdecker, um das Dach zu decken?

Die Pyramide des ägyptischen Königs Cheops bei Giseh hat ein Volumen von rund 2899200 m3. Wie hoch ist sie, wenn die Grundkante der quadratischen Grundfläche 240 m lang ist? Wie groß ist der Flächeninhalt des Mantels?

Bei einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist die Grundkantenlänge gleich der Höhe. Das Volumen der Pyramide beträgt 243 cm3. Berechne die Oberfläche.

Von einer quadratischen Pyramide sind a = 5 cm und hk = 12 cm bekannt. Wie groß muß die Grundkante a einer zweiten quadratischen Pyramide werden, wenn hk unverändert bleiben soll, aber das Volumen doppelt so groß sein soll?

Berechne die Oberfläche und das Volumen eines Oktaeders (Doppelpyramide, deren Kanten alle gleich lang sind) mit a = 14 cm.

Berechne das Volumen einer rechteckigen Pyramide mit

a) a = 5 cm b = 3 cm hk = 6,6 cm b) a = 9 cm U = 24 cm hk = 5,7 cm

c) a = 8 cm b = 6 cm ha = 5 cm d) b = 12 m U = 54 m hb = 15 m

e) b = 9 m hk = 6 m hb = 8,1 m f) a = 12 dm hk = 15 dm ha = = 16,5 dm

Das Zelt einer Wandergruppe hat die Form einer rechteckigen Pyramide mit den Grundkanten a = 4 m und b = 3 m. Die Seitenkanten sind je 5 m lang (Das Zelt ist 4,3 m hoch). Wieviel m2 Segeltuch benötigt man zur Herstellung?

Berechne die Obefläche und das Volumen einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche, wenn a = 6,8 m, b = 5,7 m und hk = 4,9 m ist.

Ein Kirchturmdach hat die Form einer rechteckigen Pyramide mit den Grundkanten a = 5,4 m und b = 12,9 m. Die Körperhöhe beträgt 8 m. Das Dach soll neu gedeckt werden. Berechne die Dachfläche.

Eine Pyramide mit der Höhe hk = 4,75 cm hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a = 3,86 cm. Berechne den Mantel der Pyramide.

Ein Turmhelm hat die Gestalt einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide mit der Grundkante a = 1,8 m und der Höhe hk = 5,6 m.

a) Wie groß ist der Dachraum?

b) Wie teuer ist die Bedachung mit Kupferblech, wenn 1 m2 132,50 DM kostet?

Ein Turm hat als Dach eine sechsseitige Pyramide. Die Grundkanten messen 2,20 m, die Seitenkanten 11 m. Berechne die Dachfläche.

Dreiseitige Pyramide

Berechne das Volumen einer Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche, wenn a = 18 cm und hk = 35,6 cm mißt. (mit Oberfläche nur A!)

Berechne die fehlenden Stücke einer dreiseitigen Pyamide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche:

Beachte bei der Bestimmung von ha daß der Fußpunkt der Körperhöhe hk die Höhen der Grundfläche im Verhältnis 2 : 1 teilt!

a) a = 6 cm hk = 9 cm (a = 12 m hk = 12 m)

b) s = 8 cm ha = 9 cm (a = 12 m ha = 15 m)

Ein Tetraeder hat die Kantenlänge 9 cm. Berechne Oberfläche und Volumen.

Wie lang sind die Kanten und Höhen eines Tetraeders, wenn O = 36,3 cm2 ist.

Eine regelmäßige dreiseitige Pyramide, deren Kanten alle gleich lang sind, heißt Tetraeder.

a) Berechne die Oberfläche und das Volumen, wenn die Kantenlänge 25 cm beträgt.

b) Berechne die Oberfläche und das Volumen allgemein.

 

Von einem Würfel ABCDEFGH ist die Pyramide EBGFabgeschnitten. Berechne das Volumen der Pyramide und des Restkörpers, falls der Würfel die Kantenlänge 7,25 cm besitzt.

Ein Pyramidenzelt ist aus drei Zeltbahnen aufgebaut, die die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 2 m haben. Berechne die Höhe und die Grundfläche des Zeltes.

A Sämtliche Kanten a einer dreiseitigen Pyramide sind gleich lang. Auf jede der Dreiecksflächen wird eine Pyramide mit derselben Kantenlänge a gesetzt. Berechne die Oberfläche des entstandenen Körpes.

A Eine Pyramide besitzt als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 3,78 cm und 5,23 cm, ihre Höhe ist 8,17 cm. Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Schnittpunkt der beiden Katheten. Berechne Volumen und Oberfläche.

Kegel

Berechne die fehlenden Größen eines Kegels

  r hk s G M O V
a) 1,47 m 7,28 m          
b)       4,9 cm² 16 cm ²    
c)       2590 cm²     4830 cm³

 

Berechne die fehlenden Stücke eines Kegels.

r

s

hk

G

M

O

V

16 m

     

1625 m²

   

15 cm

 

36 cm

       

8,5 cm

         

2000 cm3

0,45 m

117 cm

         
   

34 dm

     

1580 dm3

 

9,1 dm

8,4 dm

       
       

2 m2

3 m2

 
     

844,5 m2

   

1000 m3

 

20 cm

   

300 cm2

   

 

Berechne die fehlenden Stücke des Kegels

a) r = 15 cm hk = 36 cm (r = 5 cm hk = 15 cm)

b) r = 15,8 cm s = 34,9 cm (r = 0,45 m s = 117 cm)

c) s = 9 cm hk = 7 cm (s = 9,1 dm hk = 84 cm)

d) M = 2 m2 O = 3 m2

e) V = 1000 cm3 r = 16,4 cm (V = 2000 cm3 r = 8,5 cm)

f) M = 1625 dm2 r = 16 dm

g) V = 2155,13 cm3 G = 153,94 cm2

h) hk = 9,3 cm V = 286,54 cm3

i) s = 9,3 cm G = 120,8 cm2

Berechne alle Stücke eines Kegels mit hk = 20 cm und V = 2,5 l (hk = 34 cm und V = 1580 cm3).

Berechne das Volumen eines Kegels mit

a) r = 12 m hk = 15 m (r = 1,5 cm hk = 2,7 cm)

b) r = 12 cm s = 13 cm (r = 15 dm s = 21 dm)

c) s = 8 cm hk = 6 cm (s = 16 cm hk = 12 cm)

d) M = 47,1 cm2 G = 28,26 cm2

Berechne die Körperhöhe eines Kegels mit V = 1500 cm3 und r = 9 cm.

Berechne die Länge des Grundkreisradius eines Kegels mit V = 912 cm3 und hk = 12 cm.

Ein kegelförmiges Turmdach hat einen Durchmesser von d = 8 m und eine Höhe von 6 m. Berechne Oberfläche, Mantel und Mantellinie s.

Auf einen runden Turm ( r = 4,5 m ) soll ein kegelförmiges Dach aufgesetzt werden. ( hk = 3,8 m ). Berechne die Größe der Dachfläche!

Einem runden Turm (U = 40,8 m) soll ein kegelförmiges Dach mit einer Höhe von 2,4 m aufgesetzt werden. Berechne die Dachfläche.

Ein Turm hat die Form eines Zylinders mit U = 31,4 m. Auf den Turm soll ein kegelförmiges Dach aufgesetzt werden mit einer Höhe von 13 m.

a) Wie lang müssen die Dachsparren sein?

b) Wie groß wird der Dachraum?

c) Wieviel m2 braucht man zum Bedecken des Daches?

Auf einen runden Turm mit r = 5,24 m wird ein Dach in Form eines Kegels gesetzt, dessen Höhe hk = 8,75 m beträgt. Wie teuer ist der Belag des Daches mit Kupferblech, wenn 1 m ² Kupferblech 58 DM kostet?

Die vier kegelförmigen Dächer der Ecktürme eines Rathauses sollen mit Kupferblech neu gedeckt werden. Jeder Turm hat einen Durchmesser von d = 9 m und eine Seitenkante von s = 12 m. Wieviel m2 Kupferblech sind erforderlich, wenn für das Überdecken der einzelnen Platten und für Verschnitt 10 % hinzugerechnet werden müssen?

Die Decke eines Turmzimmers hat Kegelform (d = 6 m; h = 4 m). Wieviel kostet der Anstrich der Decke, wenn für 1 m2 37,80 DM gefordert werden?

Ein Senkblei hat die Form eines Kegels mit dem Grundkreisdurchmesser d = 3 cm und der Höhe hk = 5 cm. Wieviel wiegt das Senkblei? (Dichte 11,34 g/cm3)

Eine Kohlenhalde hat Kegelform, ist 10 m hoch und bedeckt eine Kreisfläche mit d = 18 m. Wieviel Eisenbahnwagen sind zum Abtransport der Kohle notwendig, wenn ein Wagen 16 m3 Kohle faßt?

Eine Kohlenhalde hat die Form eines Kegels. Sie ist 10 m hoch und enthält 847,8 m3 Kohle. Wie groß ist die Grundfläche und deren Durchmesser?

Ein Sandberg hat Kegelform und bedeckt bei einer Höhe von 2 m eine Kreisfläche mit d = 6 m. Wieviel m3 Sand sind vorhanden?

Ein kegelförmiger Sandhaufen hat am Boden einen Umfang von 15 m. Die Mantellinie ist 2,8 m lang. Wieviel Tonnen Sand sind vorhanden? (1 dm3 Sand wiegt 1,5 kg)

Das kegelförmige Zelt von Winnetous Opa bedeckte 8 m2 Boden und war 2,5 m hoch. Wieviel Zeltstoff mußte Winnetous Oma dafür weben?

Ein kegelförmiges Zelt ohne Boden soll 8 m2 Boden bedecken und 2,5 m hoch sein. Wieviel m2 Zeltstoff werden für das Zelt gebraucht?

Der kegelförmige Teil eines Trichters hat einen Durchmesser von 12 cm und eine Höhe von 8 cm (81 mm). Wieviel cm3 faßt er? Wieviel cm2 Zinkblech benötigt man zu seiner Herstellung?

Ein kegelförmiger Meßbecher soll 0,5 l fassen und 10 cm hoch sein.

a) Welchen oberen Durchmesser muß der Meßbecher haben?

b) Wo ist die 0,25 l-Marke auf der Mantellinie?

Ein Kelchglas hat einen oberen lichten Durchmesser von 6,6 cm und eine Seitenlänge von 12 cm. Wieviel cm3 faßt der Kelch, wenn er ganz (bis zur halben Höhe; bis zu 3/4 seiner Höhe) gefüllt ist?

Ein Kelchglas mit dem oberen Durchmesser d = 8 cm und der Höhe h = 10 cm wird bis 2 cm unter dem Rand gefüllt. Wieviel Flüssigkeit befindet sich im Glas?

Bei einem Kegel mit dem Volumen 100 cm3 (261,8 cm3) ist der Grundkreisradius (-durchmesser) gleich seiner Höhe. Wie hoch ist der Kegel? Welche Oberfläche hat er?

Der Mantel eines Kegels ist doppelt so groß wie die Grundfläche. Drücke Mantel, Oberfläche und Volumen durch den Grundkreisradius r aus.

Ein Gefäß hat Kegelform. Die Mantellinie und der Durchmesser sind gleich lang (35 cm). Berechne das Volumen des Gefäßes.

Berechne die Oberfläche und das Volumen eines Doppelkegels mit r = 7,5 cm und s = 15 cm.

Eine Boje hat die Form eines Doppelkegels. Sie ist 80 cm hoch und hat eine größte lichte Weite von 22 cm. Wieviel Blech wurde zu ihrer Herstellung benötigt?

Von einem Kegel ist gegeben: Das Volumen V und der Radius r. Berechne die Körperhöhe.

Berechne den Rauminhalt und die Oberfläche eines Doppelkegels, der durch Rotation eines gleichseitigen Dreiecks um eine Seite mit der Länge a entsteht.

Wird ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 13 cm um eine seiner Katheten gedreht, so entsteht ein Kegel mit der Oberfläche O = 90 p cm2. Wie lang sind die Katheten der Dreiecksfläche?

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b wird um die Kathete a (b; um die Hypotenuse) gedreht. Berechne das Volumen des Drehkörpers für a = 8 cm und b = 15 cm.

Ein gleichseitiges Dreieck mit a = 12 cm rotiert um seine Höhe. Berechne Oberfläche und Volumen des Drehkörpers.

Ein Geodreieck (rechtwinklig-gleichschenklig!) wird um eine Kathete (die Hypotenuse) gedreht. Welchen Rauminhalt und welche Oberfläche hat der Rotationskörper?

Berechne Volumen und Oberfläche eines Kegels, dessen Mantel aus einem Halbkreis mit r = 4 cm gebildet wird.

Der abgewickelte Mantel eines Kegels ist ein Kreisausschnitt. Wie groß ist sein Mittelpunktswinkel, wenn der Kegel die Höhe hk = 60 cm und den Radius r = 11 cm besitzt?

Berechne das Volumen und die Oberfläche eines Kegels, dessen Mantel aus einem Viertelkreis mit dem Radius r = 4 cm gebildet wird.

Ein Kreisausschnitt mit dem Radius r = 8 cm und dem Mittelpunktswinkel 120° (90°) soll zu einem Kegel gebogen werden. Berechne sein Volumen.

Gemischt

Welcher Körper hat das größere Volumen?

a) ein Würfel mit a = 7 cm

b) ein Quader mit a = 5 cm; b = 20 cm und c = 3,4 cm

c) eine quadratische Pyramide mit a = 6 cm und hk = 30 cm

d) ein Kegel mit r = 8 cm und hk = 5 cm

e) ein Zylinder mit U = 15,5, cm und hk = 6 cm

Welcher Körper hat das größere Volumen?

a) eine Pyramide ( Grundfläche: gleichseitiges Dreieck mit a = 6 cm) mit einer Höhe von 6 cm

b) eine quadratische Pyramide mit a = 6 cm und hk = 5 cm

c) ein Kegel mit r = 4 cm und hk = 8 cm

d) eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche mit a = 5,2 cm, b = 3 cm und hk = 6 cm

Berechne Oberfläche und Volumen folgender Pyramiden:

a) G = Rechteck a = 2 m b = 3 m c = 3 m hk = 5 m

b) G = gleichseitiges Dreieck a = 12 cm hk = 8 cm

c) G = regelmäßiges Sechseck a = 40 cm hk = 90 cm

Einer quadratischen Pyramide mit a = 21 cm und hk = 73 cm (a = 10 cm; hk = 12 cm) ist ein Kegel einbeschrieben (umschrieben). Wie groß ist der Oberflächeninhalt des Kegels?

Einem Kegel (d = 25 cm, hk = 16 cm) ist eine quadratische Pyramide einbeschrieben (umschrieben). Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide.

Berechne das Volumen des größtmöglichen Kegels, den man in einen Würfel mit a = 6 cm einsetzen kann.

Aus einem Zylinder von 10 cm Durchmesser und 25 cm Höhe wird ein Kegel, dessen Grundfläche gleich der Grundfläche des Zylinders ist, von gleicher Höhe wie der Zylinder herausgebohrt. Berechne O und V des Restkörpers.

Eine quadratische Säule (Prisma mit quadratischer Grundfläche) hat ein Volumen von 360 cm3 und eine Höhe von 10 cm. In diese quadratische Säule wird eine Pyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe einbeschrieben. Berechne das Volumen und die Oberfläche des Restkörpers.

Ein kegelförmiger Meßbecher ist ganz mit Wasser gefüllt. Dieses wird in ein zylinderförmiges Gefäß gleichen Durchmessers und gleicher Höhe umgefüllt. Wie hoch wird das Wasser im Zylinder stehen.

Zusammengesetzte Körper

Ein Marmordenkmal besteht aus einem Würfel der Kantenlänge 80 cm mit einer aufgesetzten 1,80 m hohen Pyramide. Wieviel t wiegt das Denkmal? (1 cm3 Marmor wiegt 2,5 g)

Auf die Flächen eines Würfels mit der Kantenlänge a werden quadratische Pyramiden aufgesetzt, deren Seitenkanten genauso lang sind wie die Würfelkanten. Berechne (allgemein) Oberfläche und Volumen des entstandenen Körpers.

Auf einen Würfel mit a = 15 dm wird eine Pyramide mit hk = 15 dm aufgesetzt. Berechne Oberfläche und Volumen des gesamten Körpers.

Auf einen Quader mit a = 6,8 cm, b = 5,7 cm und c = 3 cm wird eine Pyramide gesetzt mit hk = 4,9 cm. Berechne Oberfläche und Volumen des gesamten Körpers.

Auf einen Zylinder mit r = 7 cm und hk = 12 cm wird ein Kegel mit hk = 15 cm gesetzt. Berechne Oberfläche und Volumen des gesamten Körpers.

Ein Turm besteht aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel. Der Grundkreisradius beträgt 5 m, die Gesamthöhe 20 m und der Rauminhalt 1000 m3. Wie hoch ist der Zylinder, wie hoch der Kegel?

Aus einem Würfel (a = 8 cm (60 cm)) wird ein Kegel herausgebohrt.Berechne das Volumen des Restkörpers.

  

 Pyramiden- und Kegelstumpf

 Die Cheopspyramide in Ägypten hat eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von 230 m und einer Höhe von 140 m.

a) Berechne das Volumen der Pyramide.

b) Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes, als der Bau die Höhe von 70 m erreicht hatte.

Wie erhält man durch Rotation einen Kegelstumpf?

Die Länge der Grundkante einer quadratischen Pyramide sein a = 16 cm, ihre Höhe h = 20 cm. Die Pyramide wird durch einen Schnitt parallel zur Grundfläche in zwei Teilkörper zerlegt. Der Abstand von der Spitze zur Schnittfläche ist 0,5 h. Berechne die Oberfläche jedes Körpers.