Zurück zur Übersicht      MATHEMATIK

Textgleichungen: Anwendungen zu einfachen Gleichungen/8. Schuljahr

(teilweise mit Lösungen)

Achtung: mit dem Internet-Explorer werden die Brüche nicht immer richtig dargestellt

ZAHLENRÄTSEL

Von welcher Zahl muß man 13 subtrahieren, um 5 zu erhalten?

x - 13 = 5    x = 18

Zu welcher Zahl muß man 2,7 addieren, um 16,7 zu erhalten?

x + 2,7 = 16,7   x = 14

Multipliziert man eine Zahl mit 12, so erhält man 84.

12 x = 84   x = 7

Dividiert man eine Zahl durch 13, so erhält man (-11).

x : 13 = - 11   x = 143

Multipliziert man eine Zahl mit 15 und addiert 2, so erhält man 7.

15 x + 2 = 7   x =

Subtrahiert man vom Dreifachen einer Zahl die Zahl 13, so erhält man 44.

3 x - 13 = 44    x = 19

Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl 31, so erhält man - 1.

5 x - 31 = - 1    x = 6

Addiert man zum Dreifachen einer Zahl 14, so erhält man 44.

3 x + 14 = 44    x = 10

Subtrahiert man vom Dreifachen einer Zahl die Zahl 3, so erhält man 44.

3 x - 3 = 44     x = 14

Multipliziert man eine Zahl mit     und addiert dann die Zahl 6, so erhält man 20.

x + 6 = 20    x = 21

Addiert man zum dritten Teil einer Zahl die Zahl 51, so erhält man 60.

x + 51 = 60    x = 27

Wenn man zum Vierfachen einer Zahl das Dreifache der Zahl addiert, so erhält man 56.

4 x + 3 x = 56    x = 8

Wenn man vom Fünffachen einer Zahl das Doppelte der Zahl subtrahiert, so erhält man 27.

5 x - 2 x = 27     x = 9

Subtrahiert man vom 4-fachen einer natürlichen Zahl die Hälfte der Zahl, so erhält man 77.

4 x - x = 77    x = 22

Wenn man das Vierfache einer natürlichen Zahl zum Achtfachen derselben Zahl addiert, erhält man 24.

8 x + 4 x = 16      x = 2

Wenn man das Vierfache einer natürlichen Zahl zum Achtfachen der Zahl addiert, so erhält man 18. Wie heißt die Zahl?

8 x + 4 x = 18    x = 1,5   IL = { }

Wenn man vom Zehnfachen einer Zahl das Doppelte der Zahl subtrahiert und dann 12 addiert, so erhält man 52 (92).

10 x - 2 x + 12 = 52 (92)     x = 5 (10)

Wenn man zu einer Zahl die Hälfte der Zahl addiert und dann 5 subtrahiert, so erhält man 25.

x + ½ x - 5 = 25      x = 20

Wenn man zu dem Doppelten einer Zahl die Hälfte der Zahl addiert und dann 7 subtrahiert, so erhält man 8.

2 x + ½ x - 7 = 8      x = 6

Wie heißen die drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, deren Summe 3705 ist?

x + (x + 1) + (x + 2) = 3705    x = 1234

Die Summe dreier aufeinanderfolgenden geraden Zahlen ist 10374. Wie heißen die Zahlen?

x + (x + 2) + (x + 4) = 10374    x = 3456

Von drei Zahlen ist die zweite doppelt so groß wie die erste. Die dritte ist so groß wie die erste und zweite zusammen. Wie heißen die drei Zahlen, wenn ihre Summe 102 beträgt?

x + 2 x + 3 x = 102     x = 17

Vier Zahlen haben als Summe 74. Die erste ist um 5 kleiner als die zweite. Die dritte ist um 12 größer als die zweite und um 7 kleiner als die vierte. Wie heißen die vier Zahlen?

(x - 5) + x + (x + 12) + (x + 19) = 74    x = 12

Von welcher Zahl ist die Summe aus dem dritten, dem vierten und dem fünften Teil gleich 70,5?

Addiert man zu 76 das 7-fache einer Zahl, so ist das Ergebnis das 26-fache der gesuchten Zahl.

76 + 7 x = 26 x       x = 4

Wenn man vom 12-fachen der gesuchten Zahl 40 subtrahiert, so erhält man das 4-fache der gesuchten Zahl.

12 x - 40 = 4 x     x = 5

Man erhält das Fünffache einer Zahl, wenn man zum Doppelten der Zahl die Zahl 36 addiert.

2 x + 36 = 5 x     x = 12

Der dritte Teil einer ganzen Zahl vermindert um 12 ist gleich dem Dreifachen der Zahl.

x - 12 = 3 x  x = -

Das Dreifache einer Zahl ist um 16 kleiner als das Fünffache derselben Zahl.

3 x + 16 = 5 x  x = 8

Rolf behauptet er kenne eine ganze Zahl, deren Doppeltes um 18 kleiner ist als die Hälfte der ganzen Zahl.

2 x + 18 = ½ x     x = - 12

Welche Zahl ist gleich der um 5 verminderten Hälfte ihres Dreifachen?

x = x - 5     x = 10

Vermehrt man das Dreifache einer Zahl um 5, so erhält man dasselbe, wie wenn man das Doppelte der Zahl um 8 vermindert. Wie heißt die Zahl?

3 x + 5 = 2 x - 8    x = - 13

Wenn man vom Dreifachen einer ganzen Zahl die Zahl 5 subtrahiert, erhält man dasselbe, wie wenn man zum Doppelten der Zahl die Zahl 2 addiert.

3 x - 5 = 2 x + 2    x = 7

Wenn man das Fünffache einer Zahl um 7 vergrößert, so erhält man dasselbe, wie wenn man das Vierfache der gesuchten Zahl um 4 vergrößert.

5 x + 7 = 4 x + 4     x = - 3

Addiert man zum Fünffachen einer Zahl 10, so erhält man dasselbe, wie wenn man zum Dreifachen der Zahl 4 addiert.

5 x + 10 = 3 x + 4     x = - 3

Das Sechsfache einer Zahl vermindert um 12 ist gleich dem Dreifachen der Zahl vermehrt um 18.

6 x - 12 = 3 x + 18    x = 10

Addiert man zur Hälfte einer Zahl 40, so erhält man das Dreifache der Zahl vermindert um 260.

½ x + 40 = 3 x - 260    x = 120

Addiert man das Achtfache, das Vierfache und das Dreifache einer Zahl, so erhält man dasselbe, wie wenn man das Doppelte der Zahl von 68 subtrahiert. Wie heißt die Zahl?

8 x + 4 x + 3 x = 68 - 2 x     x = 4

Wenn man zum Doppelten einer Zahl 4 addiert und die Summe mit 3 multipliziert, so erhält man 78. Wie heißt die Zahl?

3 (2 x + 4) = 78    x = 11

Vermehrt man eine Zahl um 7 und multipliziert die Summe mit 3, so erhält man 27.

3 (x + 7) = 27     x = 2

Für welche Zahl gilt: Vermehrt man das Doppelte der Zahl um 2 und verdreifacht das Ergebnis, so erhält man 12,6?

3 (2 x + 2) = 12,6     x = 1,1

Wenn du eine Zahl verdoppelst, dann 4 addierst und das Ergebnis mit 3 multiplizierst, erhältst du dasselbe, wie wenn du die Zahl mit 6 multiplizierst und dann 12 addierst.

3 (2 x + 4) = 6 x + 12     allgemeingültig

Thomas behauptet: Es gibt genau eine natürliche Zahl, für die gilt: Wenn man zum 7-fachen dieser Zahl 63 addiert und die entstehende Summe durch 7 dividiert, so erhält man eine Zahl, die um 9 größer ist als die ursprüngliche Zahl.

(7 x + 63) : 7 = x + 9     allgemeingültig

Eine rationale Zahl wird durch folgende Forderung bestimmt: Multipliziert man die ursprüngliche Zahl mit 3, addiert zum Produkt 20, subtrahiert das Doppelte der ursprünglichen Zahl, multipliziert das Ergebnis mit 2, addiert 60 und dividiert das Ergebnis durch 2, so erhält man nach subtrahieren von 50 die gesuchte Zahl.

[ 2 (3 x + 20 - 2 x) + 60 ] : 2 - 50 = x    allgemeingültig

Vermindert man eine Zahl um 3 und multipliziert das Ergebnis mit 7, so erhält man dasselbe, wie wenn man die Zahl um 3 vermehrt und dann das Ergebnis verfünffacht.

7 (x - 3) = 5 (x + 3)     x = 18

Um welche Zahl muß man jeden Faktor der beiden Produkte 28 . 30 und 40 . 22 verkleinern, damit die zwei neuen Produkte gleich werden?

(28 - x) (30 - x) = (40 - x) (22 - x)    x = 10

Die Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen unterscheiden sich um 289. Wie heißen die beiden Zahlen?

(x + 1)2 - x2 = 289     x = 144

Zwei Zahlen unterscheiden sich um 15, ihre Quadrate um 1035. Wie heißen die beiden Zahlen?

(x + 15 )2 - x2 = 1035     x = 27

Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 11. Vertauscht man ihre beiden Ziffern miteinander, so ist die entstehende Zahl um 27 größer als die ursprüngliche Zahl.

Z: x E: 11 - x    10 x + (11 - x) = 10 (11 - x) + x - 27       x = 4 (47)

Rita denkt sich eine zweistellige Zahl mit Quersumme 9. Subtrahiert sie 9 von ihrer Zahl, so erhält sie diejenige Zahl, die durch Vertauschung der Einer- und Zehnerziffer entsteht.

E: x Z: 9 - x 10 x + (9 - x) - 9 = 10 (9 - x) + x      x = 5 (54)

Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 7 größer als ihre Einerziffer. Die Zahl ist so groß wie das 9-fache ihrer Quersumme.

E: x Z: x + 7 10 (x + 7) + x = 9 [ (x + 7) + x ]     x = 1 (81)

Petra hat von ihrer Großmutter aus der alten Familienzeitschrift "Daheim" (1884) folgende Aufgabe erhalten:

Eine Zahl hab ich gewählt,

90 noch hinzugezählt,

Drauf durch 18 dividiert,

Wieder 18 dann addiert,

Jetzt mit 3 multipliziert,

84 subtrahiert,

Und als Rest ist mir geblieben

Dann zuletzt die heil'ge 7.

 

3 [ (x + 90) : 18 + 18 ] - 84 = 7     x = 132

In einem alten indischen Lehrbuch findet sich die folgende Aufgabe:

Aus einer Menge reiner Lotosblumen wurde Schiwa der dritte, Wischnu der fünfte, der Sonne der sechste Teil als Opfer dargebracht. Den vierten Teil erhielt Bhawani, und die übrigen sechs Blumen bekam der ehrwürdige Lehrer. Wie viele Lotosblumen waren es?

 

x + x + x + x + 6 = x       x = 120

Zu Augias einmal die gewaltige Kraft des Alkiden sprach, ausforschend der Rinder Gesamtzahl. Jener entgegnet: Rings um die Flut des Alfeios herum, Freund, weidet die Hälfte, aber ein Achtel der Herde, am Hügel, geweihet dem Chronos; am Taraxippos sodann ein Zwölftel noch, fern an der Grenze. Und ein Zwanzigstel grast im altehrwürdigen Elis. Aber den 30. Teil rundum in Arkadien ließ ich. Was nun übrig noch ist, schaust du hier: Die Hälfte von Hundert.

x + x + x + x + x + 50 = x      x = 240

Eine antike Schülerstatistik:

"Edler Pythagoras sage mir an, wie viele der Jünger zählt dein Haus, die dem Dienst sich weihen der unsterblichen Götter?" "Sagen will ich dir, oh Polykrates. Siehe die Hälfte weihet sich der herrlichen Mathematik, ein Viertel erforschet eifrig die Tiefen der ew'gen Natur, ein Siebentel übt noch schweigend die Kraft des Gemüts und horcht der sinnigen Rede, dann der Jungfrauen drei, doch herrlich vor allem Theano, so viel führ ich der Jünger zum Born der ewigen Wahrheit."

x + x + x + 3 = x       x = 28

Ein tierisches Problem:

Ein Gäns'rich saß in süßer Ruh'

in einem Sumpfgesträuche,

da flog ein Gänseschwarm herzu

von einem nahen Teiche.

Der Gäns'rich sprach: "Ich grüß' euch schön,

fürwahr ich bin verwundert,

euch insgesamt allhier zu seh'n,

ihr seid ganz sicher hundert!"

Ein kluges Gänschen drauf versetzt:

" Viel wird zu hundert fehlen,

du hast die Zahl zu hoch geschätzt,

drum magst du selbst nun zählen.

Verdopple unsre Zahl, dann sei

die Hälfte noch genommen,

ein Viertel und du Freund dabei

wirst hundert dann bekommen."

 

2 x + x + x + 1 = 100      x = 36

 

GEOMETRIE

Ein gleichseitiges Dreieck hat einen Umfang von 31,2 cm (24 cm). Wie lang ist eine Seite?

3 x = 31,2 (24)         x = 10,4 (8)

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 40 cm. Ein Schenkel ist 5 cm länger als die Grundseite. Wie lang sind Schenkel und Grundseite?

2 (x + 5) + x = 40       x = 10

In einem beliebigen Dreieck ist die kleinste Seite um 1 cm kürzer als die mittlere und diese wieder um 1 cm kürzer als die längste Seite. Der Umfang beträgt genau 30 cm.

(x - 2) + (x - 1) + x = 30       x = 11

Ein Rechteck hat einen Umfang von 30 cm. Eine Seite ist 3 cm länger als die zweite Seite. Wie lang ist jede Seite?

2 x + 2 (x + 3) = 30        x = 6

In einem Rechteck mit einem Umfang von 30 cm ist eine Seite 5 cm länger als die andere. Wie lang sind die beiden Seiten?

2 (x + 5) + 2 x = 30        x = 5

Ein Rechteck hat einen Umfang von 240 mm. Die Seite a ist um 3,4 cm länger als die Seite b. Wie lang sind die beiden Seiten?

2 (x + 3,4) + 2 x = 24       x = 4,3

In einem gleichschenkligen Dreieck ist jeder Schenkel dreimal so lang wie die Grundseite. Der Umfang des Dreiecks beträgt 28 cm.

3 x + 3 x + x = 28      x = 4

In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Grundseite halb so lang wie ein Schenkel des Dreiecks. Der Umfang beträgt 16 cm. Berechne die Längen der Dreiecksseiten.

x + x + ½ x = 16 x = 6,4 oder 2 x + 2 x + x = 16 x = 3,2

In einem Rechteck ist eine Seite dreimal so lang wie die zweite Seite. Der Umfang des Rechtecks beträgt 48 cm. Wie lang sind die beiden Seiten?

3 x + 3 x + x + x = 48      x = 6

Ein Rechteck ist dreimal so lang wie breit. Sein Umfang beträgt 88 cm. Bestimme die beiden Seitenlängen.

3 x + 3 x + x + x = 88      x = 11

Ein Dreieck hat einen Umfang von 23 cm. Seite a ist halb so lang wie Seite c, Seite b ist 2 cm kürzer als Seite c. Wie lang sind die Dreiecksseiten?

x + (x - 2) + ½ x = 23      x = 10

Verlängert man die Seiten eines Quadrates um jeweils 3 cm so wächst der Flächeninhalt um 81 cm2.

(x + 3)2 = x2 + 81      x = 12

Ein Rechteck ist dreimal so lang wie breit. Verlängert man jede Seite um 1 cm, so vergrößert sich die Fläche um 15 cm2.

(3 x + 1) ( x + 1) = 3 x2 + 15      x = 3,5

In einem Rechteck ist eine Seite um 15 m länger als die andere. Verkürzt man die längere Seite um 9 m und verlängert die kürzere um 6 m, so ändert sich der Flächeninhalt nicht.

x (x + 15) = (x + 6) (x + 6)       x = 12

Der Flächeninhalt eines Quadrates entspricht dem eines Rechtecks, bei dem eine Seite um 6 cm länger, die andere um 4 cm kürzer ist als die Quadratseite.

x2 = (x - 4) (x + 6)       x = 12

In einem Dreieck ist w(a ) = 46° und w(b ) = 51°. Berechne w(g ).

x + 46 + 51 = 180       x = 83

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel um 15° größer als der Winkel an der Spitze. Wie groß ist jeder Winkel?

x + (x + 15) + (x + 15) = 180      x = 50

In einem gleichschenkligen Dreieck ist jeder Basiswinkel viermal so groß wie der Winkel an der Spitze. Wie groß ist jeder Winkel?

4 x + 4 x + x = 180        x = 20

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel jeweils doppelt so groß wie der Winkel an der Spitze. Wie groß ist jeder Winkel?

2 x + 2 x + x = 180       x = 36

In einem Dreieck sei w(a ) = 60°, w(b ) ist doppelt so groß wie w(g ). Wie groß ist jeder Winkel?

2 x + x + 60 = 180       x = 40

In einem Dreieck ist der kleinste Winkel 2° kleiner als der mittlere und dieser wieder 2° kleiner als der größte Winkel.

(x - 4) + (x - 2) + x = 180     x = 62

ALTERSRÄTSEL

Eine Mutter ist viermal so alt wie ihre Tochter. Beide zusammen sind 65 Jahre alt. Wie alt ist die Tochter?

x + 4x = 65

Großvater, Vater und Sohn sind zusammen 126 Jahre alt. Der Großvater ist dreimal so alt, der Vater doppelt so alt wie der Sohn.

x + 2 x + 3x = 126

Von zwei Brüdern ist der eine dreimal so alt wie der andere und ihr Vater viermal so alt wie beide zusammen. Wie alt ist jeder, wenn sie zusammen 40 Jahre sind?

x + 3 x + 16 x = 40

Von zwei Brüdern ist der eine drei Jahre älter als der andere. Zusammen sind sie 31 Jahre alt. Wie alt ist jeder?

x + (x + 3) = 31

Frank und Karin sind zusammen 26 Jahre alt. Frank ist zwei Jahre älter als Karin. Wie alt sind sie?

x + (x + 2) = 26

Drei Jungen sind zusammen 33 Jahre alt. Der erste ist 1 Jahr jünger als der zweite, der dritte ist 1 Jahr älter als der zweite.

(x - 1) + x + (x + 1) = 33

Mutter, Vater und Tochter sind zusammen 100 Jahre alt. Die Mutter ist um 8 Jahre jünger als der Vater, der Vater ist viermal so alt wie die Tochter. Wie alt ist jeder?

x + 4 x + (4 x - 8) = 100

Der Vater ist 34, die Mutter ist 30 und die Tochter 7 Jahre alt. Vor wieviel Jahren waren Mutter und Tochter zusammen so alt wie der Vater?

(30 - x) + (7 - x) = 34 - x

Der Vater ist 36, der Sohn 14 Jahre alt.

a) Vor wie vielen Jahren war der Vater dreimal so alt wie der Sohn?

b) In wie vielen Jahren ist der Vater doppelt so alt wie der Sohn?

a) 3 (14 - x) = 36 - x b) 2 (14 + x) = 36 + x

Von ihren Schülerinnen und Schülern nach ihrem Alter gefragt breitet Frau H. ihre Lebensgeschichte aus: Nach 6 sorglosen Kinderjahren kam ich zur Schule, in der ich drei Zehntel meines Lebens verbracht habe. Die darauf folgenden Studentenjahre machten drei Zwanzigstel meiner bisherigen Lebenszeit aus. Und nun quäle ich mich bereits weitere vier Zehntel meines Lebens damit ab, euch und euresgleichen die mathematischen Grundbegriffe einzutrichtern.

Wie alt ist Frau H.?

 

VERSCHIEDENES

Frau Krüger kauft 8 Eier und 1 Liter Milch. Die Milch kostet 1,06 DM. Insgesamt bezahlt Frau Krüger 2,98 DM. Wieviel hat ein Ei gekostet. Löse mit Hilfe einer Gleichung.

Ein Gewinn wird unter drei Freunden verteilt. Bernd erhält doppelt so viel wie Achim, Christian erhält 100 DM mehr als Achim. Der Gewinn beträgt insgesamt 740 DM. Wieviel DM erhält Achim?

Ein Geldbetrag von 450 DM soll so unter drei Personen verteilt werden, dass A 180 DM mehr als B und C 60 DM weniger als B erhält. Wieviel bekommt jeder?

Ein großer Fisch von 54 kg wird in drei Teile zerlegt. Das Kopfende wiegt 10 kg, der Rumpf wiegt zweimal soviel wie Kopf- und Schwanzende zusammen. Welches Gewicht hat jedes Teil?

Ein Hotel hat mehrere Ein- und Zweibettzimmer. In insgesamt 35 Zimmern stehen insgesamt 55 Betten. Berechne die Zahl der Ein- und Zweibettzimmer.